254. Factor Combinations (Medium)

Numbers can be regarded as product of its factors. For example,

8 = 2 x 2 x 2;
  = 2 x 4.

Write a function that takes an integer n and return all possible combinations of its factors.

Note:

  1. You may assume that n is always positive.
  2. Factors should be greater than 1 and less than n.

Examples: input: 1 output: 

[]

input: 37 output: 

[]

input: 12 output:

[
  [2, 6],
  [2, 2, 3],
  [3, 4]
]

input: 32 output:

[
  [2, 16],
  [2, 2, 8],
  [2, 2, 2, 4],
  [2, 2, 2, 2, 2],
  [2, 4, 4],
  [4, 8]
]

Solution 1: Backtracking 192ms

这道题给了我们一个正整数n，让我们写出所有的因子相乘的形式，而且规定了因子从小到大的顺序排列，那么对于这种需要列出所有的情况的题目，通常都是用回溯法来求解的，由于题目中说明了1和n本身不能算其因子，那么我们可以从2开始遍历到n，如果当前的数i可以被n整除，说明i是n的一个因子，我们将其存入一位数组out中，然后递归调用n/i，此时不从2开始遍历，而是从i遍历到n/i，停止的条件是当n等于1时，如果此时out中有因子，我们将这个组合存入结果res中，参见代码如下：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> getFactors(int n) {
        vector<vector<int>> res;
        helper(n, 2, {}, res);
        return res;
    }

    void helper(int n, int start, vector<int> out, vector<vector<int>>& res) {
        if (n == 1) {
            if (out.size() > 1) res.push_back(out);
        } else {
            for (int i = start; i <= n; ++i) {
                if (n % i == 0) {
                    out.push_back(i);
                    helper(n/i, i, out, res);
                    out.pop_back();
                }
            }
        }
    }
};

Solution 2: Math 3ms

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> getFactors(int n) {
        vector<vector<int>> res;
        helper(n, 2, {}, res);
        return res;
    }

    void helper(int n, int start, vector<int> out, vector<vector<int>>& res) {

        for (int i = start; i <= sqrt(n); ++i) {
            if (n % i == 0) {
                vector<int> new_out = out;
                new_out.push_back(i);
                helper(n/i, i, new_out, res);
                new_out.push_back(n/i);
                res.push_back(new_out);
            }
        }

    }
};

下面这种方法用了个小trick，我们仔细观察题目中给的两个例子的结果，可以发现每个组合的第一个数字都没有超过n的平方根，这个也很好理解，由于要求序列是从小到大排列的，那么如果第一个数字大于了n的平方根，而且n本身又不算因子，那么后面那个因子也必然要与n的平方根，这样乘起来就必然会超过n，所以不会出现这种情况。那么我们刚开始在2到n的平方根之间进行遍历，如果遇到因子，先复制原来的一位数组out为一个新的一位数组new_out，然后把此因子i加入new_out，然后再递归调用n/i，并且从i遍历到n/i的平方根，之后再把n/i放入new_out，并且存入结果res，由于层层迭代的调用，凡是本身能继续拆分成更小因数的都能在之后的迭代中拆分出来，并且加上之前结果，最终都会存res中，参见代码如下：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> getFactors(int n) {
        vector<vector<int>> res;
        helper(n, 2, {}, res);
        return res;
    }

    void helper(int n, int start, vector<int> out, vector<vector<int>>& res) {

        for (int i = start; i <= sqrt(n); ++i) {
            if (n % i == 0) {
                vector<int> new_out = out;
                new_out.push_back(i);
                helper(n/i, i, new_out, res);
                new_out.push_back(n/i);
                res.push_back(new_out);
            }
        }

    }
};

上面两种解法虽有些小不同，但是构成结果的顺序都是相同，对于题目中给的两个例子n = 12和n = 32，结果如下：

n = 12
2 2 3
2 6
3 4

n = 32
2 2 2 2 2
2 2 2 4
2 2 8
2 4 4
2 16
4 8

Solution 3: 6ms

上面两种方法得到的结果跟题目中给的答案的顺序不同，虽然顺序不同，但是并不影响其通过OJ。我们下面就给出生成题目中的顺序的解法，这种方法也不难理解，还是从2遍历到n的平方根，如果i是因子，那么我们递归调用n/i，结果用v来保存，然后我们新建一个包含i和n/i两个因子的序列out，然后将其存入结果res, 然后我们再遍历之前递归n/i的所得到的序列，如果i小于等于某个序列的第一个数字，那么我们将其插入该序列的首位置，然后将序列存入结果res中，我们举个例子，比n = 12，那么刚开始i = 2，是因子，然后对6调用递归，得到{2, 3}，然后此时将{2, 6}先存入结果中，然后发现i(此时为2)小于等于{2, 3}中的第一个数字2，那么将2插入首位置得到{2, 2, 3}加入结果，然后此时i变成3，还是因子，对4调用递归，得到{2, 2}，此时先把{3, 4}存入结果，然后发现i(此时为3)大于{2, 2}中的第一个数字2，不做任何处理直接返回，这样我们就得到正确的结果了：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> getFactors(int n) {
        vector<vector<int>> res;

        for (int i = 2; i*i <= n; ++i) {
            if (n % i == 0) {
                vector<vector<int>> v = getFactors(n/i);
                res.push_back({i, n/i});
                for (auto& a: v) {
                    if (i <= a[0]) {
                        a.insert(a.begin(),i);
                        res.push_back(a);
                    }
                }
            }
        }

        return res;
    }
};

这种方法对于对于题目中给的两个例子n = 12和n = 32，结果和题目中给的相同：

n = 12
2 6
2 2 3
3 4

n = 32
2 16
2 2 8
2 2 2 4
2 2 2 2 2
2 4 4
4 8

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